Condorcet for børn

Jeg underviser gerne så mange studerende som muligt i Condorcets Paradoks (f.eks. her). Altså det forhold, at man kan have en situation, hvor tre eller flere personer hver især har en transitiv præferenceorden over tre eller flere alternativer, men hvor disse tilsammen er således, at der ikke er et alternativ, der ikke kan slås af mindst et andet alternativ.

Altså f.eks., hvis vi har tre personer, A, B og C, som skal vælge mellem x, y og z, og deres respektive præferenceordener er:

A: x > y > z
B: y > z > x
C: z > x > y,

Så er den kollektive præference ved parvise, flertals-sammenligninger:

x > y > z > x

Det er givetvis ikke alle studerende, der forstår paradokset, eller dets implikationer. Det gjorde jeg vist heller ikke selv første gang, og i betragtning af at det er mere end et halvt århundrede siden, at Duncan Black og (den senere Nobelprismodtager) Kenneth Arrow genopdagede problemet, og der fortsat er mange, der ikke forstår det, er det måske ikke så lige til. Men for de studerende, der ser pointen, er det ganske ofte sådan, at jeg næsten kan høre nålen droppe ned på gulvet—eller også deres underkæbe. For har man først fattet, hvad paradokset egentlig indikerer, er det svært nogensinde at se på den demokratiske proces’ resultater på samme måde.

Når studerende så har grundet over det lidt, melder modargumenterne sig—som det sig også hør og bør. ”Er det ikke bare et skrivebordseksempel?” O.s.v. Ganske mange fokuserer på det implicitte krav om, at både individernes og kollektivets præferenceordener er transitive—”Er det ikke urealistisk?” spørger man. Det samme argument hører jeg ofte, i en anden form, når jeg plæderer for, at mange afstemningsformer—faktisk stort set alle—er bedre end den meget udbredte om ”en vælger, en stemme”. Metoder, hvor man kan prioritere eller fordele point mellem alternativerne, vil give mennesker muligheden for mere meningsfuldt at give deres meninger til udtryk. Fremfor alt har den type metoder en tendens til at mindske sandsynligheden for, at det valgte alternativ bliver et andet end Condorcet vinderen (hvis en sådan findes). ”Men det er jo for svært! Vælgerne har jo ikke meninger om alt!”, lyder indvendingen.

Men er det nu også sandt? Er det for svært for mennesker at have komplette præferencer over et sæt af alternativer, hvor N > 2? Forleden sad jeg så og spiste middag med min lille datter. Hun er godt nok klog, men hun er dog kun to år og tre måneder. Jeg spurgte hende henkastet, om hun bedst kunne lide pasta eller sin sut. Svaret kom prompte, “”Sut!””. Så tog fanden ved mig, og jeg gav hende nogle flere valgmuligheder, og jeg parrede dem to og to— for at se om slutresultatet faktisk blev en transitiv præferenceorden. Det blev den, og her er den:

Is > Sut > Pasta > Leverpostej > Ost

Nuvel, dette beviser jo intet generelt. Men lad os sige det på den måde: Hvis en to årig kan formulere en transitiv præferenceorden (og oven i købet en strikt én, altså uden indifference) over (mindst) fem alternativer, hvorfor skulle danske vælgere så ikke kunne formulere bare en blød præferenceorden over tre eller flere alternativer?

Og hvad er der så af grunde til ikke at gå fra den nuværende forsimplede demokratiopfattelse (”en vælger, en stemme”) til en mere nuanceret? Som jeg tit siger til mine studerende: Prøv at forestille jer, at I skulle shoppe i et supermarked på samme måde, som I skal stemme ved et valg: I må kun vælge én vare, og den koster jer alt, hvad I har på kontoen. Nej, vel?

9 Kommentarer

  1. Søren Nørbak

    16. oktober 2007 at 02:44

    Yderst interessant indlæg, jeg har dog et spørgsmål til Peter Kurrild-Klitgaard:Hvordan ville et valgsystem, som er baseret på en transitiv præferenceorden, se ud? Vil alle vælger få f. eks. 5 stemmer, som de så frit kunne benytte sig af, f. eks, ved at give alle 5 stemmer til Venstre, eller vil det betyde at vælgerne skulle rangordne partierne efter mest og mindst ønskelige, og det mest ønskelige parti vil få 10 stemmer, det næst mest ønskelige få 9 også videre. Eller hvordan?Med venlig hilsenSøren

  2. Kære Søren Bak,Tak for kommentar.Svaret er: Det kommer an på, hvad man vil, hvorfor, hvad man vil undgå, o.s.v. I praksis findes der et stort antal valgmetoder, som kunne reflektere vælgernes præferencer bedre (og løse andre problemer bedre), og i teorien er antallet … uendeligt.Lad os tage situationer, hvor der kun skal vælges en person eller et alternativ.- Hvis antallet af alternativer er relativt beskedent, er den oplagte mulighed “Condorcet metoden”, d.v.s., at sammenligne alle alternativer parvis. Den, der slår alle andre, er valgt. Kan intet alternativ slå alle andre parvist, kan man bruge en anden metode (jf. nedenfor) til at finde vinderen. – Hvis antallet er alternativer skønnes at være for stort til at det, er praktisk muligt, kan man bruge f.eks.:– Godkendelses-metoden (“Approval voting”): Man kan stemme ja/nej (1/0) til så mange af kandidaterne, man vil; vinderen er den med fleste (ja-)stemmer.– Borda metoden: Man rangordner alternativer og giver dem point, f.eks. 5, 4, 3, 2, 1 og 0 (e.l.). Vinderen er den med flest point sammenlagt.– Bentham-metoden: Man giver alternativerne point på en skala. Vinderen er den med den højeste sammenlagte score.– Nash-metoden: Ditto, men man ganger pointene med hinanden og vinderen er den med den højeste aggregerede score.– Kumulative metode: Man får en pose stemmer og kan fordele dem mellem kandidaterne, som man vil (alle til én, eller fordelt ud på flere). Vinderen er den med flest stemmer.o.s.v., o.s.v., o.s.v. … Der findes mindst et par dusin alternative metoder.Hvis der skal vælges to eller flere alternativer/personer (f.eks. til et parlament):- Alle de ovennævnte undtagen Condorcet kan bruges på en eller anden måde, evt. med lidt tilpasning.- En række andre (Hare, Instant-runoff, Alternative Vote, o.s.v.), som allerede bruges ved parlamentsvalg i bl.a. Irland, Malta, Australien, o.s.v., hvor det er muligt for vælgerne at rangordne kandidaterne, og hvor stemmerne så lægges sammen på forskellig vis. Stort set alle de her nævnte metoder er på en lang række kriterier at foretrække fremfor “en vælger/en stemme”.Jeg anbefaler William Rikers bog om social choice teori, “Liberalism Against Populism” (1982).

  3. Rasmus Leander

    16. oktober 2007 at 03:28

    Jeg var én af dem, der blev indoktrineret tilbage i 1990erne (eller var det 2000) med dette teorem, og tak for det. Pas dog på, at dine nye kollegaer ikke bruger din post imod dig =D. Man kunne hævde, at denne rangorden næppe forbliver konsistent over tid (standard kritik af RatChoice), og der sikkert kommer (irrelevante?) alternativer ind i billedet senere, som du sætter mindre pris på. Anyhoo, der rejser sig et spørgsmål vedrørende hvem/hvad/hvor ifbm denne mere “nuancerede” demokratitype. M.a.o, hvor ville du prøve påstanden af? Folkeafstemninger med flere alternativer er en fantastisk idé, teoretisk set – fordi det ville være ret så underholdende at analysere – men nok også kun teoretisk. Det er næppe for, at undgå rødt stemmespil på Enhedslisten, hvis de ikke kommer over spærregrænsen, say EL>SF>KF med stemmen til det parti, der rangeres højest og slår 2% mm. Så er det et mere generelt opgør med det repræsentative demokrati du er fortaler for, nu når det kun udløser forskellige afskygninger af Socialdemokrati? Please elaborate på hvem, hvad, hvor… bedste hilsner Rasmus Leander

  4. Rasmus Leander

    16. oktober 2007 at 03:43

    PS: ups, jeg havde ikke set din svar på den foregående. Nevermind… eller måske lidt mere om, hvordan du ser det anvendt i praksis, der er jo også faldgrupper, når visse personer kan manipulere stemmemetoden (Riker 1986).

  5. @Rasmus Leander: “Jeg var én af dem, der blev indoktrineret tilbage i 1990erne (eller var det 2000) med dette teorem, og tak for det.”Det var i efteråret 2000 og aldeles frivilligt … 😉 Og selv tak.”Man kunne hævde, at denne rangorden næppe forbliver konsistent over tid (standard kritik af RatChoice), …”Øhhhh … so what? I det konkrete tilfælde (afstemningssystemer) har det vel ingen relevans?

  6. Rasmus Leander

    17. oktober 2007 at 03:21

    @ øhhhh”I know. You know I know. I know you know I know. We know Henry knows. And Henry knows we know it. We’re a knowledgeable family” (fra The Lion of Winter).Det var en mulig (‘antaget’) kritik fra PoMo County, og det var mere fra ‘Anyhoo’ jeg således var interesseret i at høre mere om. Ikke mindst fordi vi (i mit tilfælde efteråret 2000 =D) igennem Arrow & Riker et al. har lært om, at den der styrer dagsordenen og stemmemetoden i høj grad styre udfaldet. Og ændring af institutioner, heriblandt stemmemetoden, kan have ret så store konsekvenser. Indrømmet, der er problemer med alle afstemningsmetoder. Selv konsensusmetoder kan evt manipuleres til egen fordel (se Tsebelis & Procksch 2007 i Journal of Common Market Studies, http://econpapers.repec.org/article/blajcmkts/v_3A45_3Ay_3A2007_3Ai_3A_3Ap_3A157-186.htm). Men ændring af stemmemetoder foregår ikke i et deliberativt vakuum, og jeg ville gerne have hørt mere om faldgrupper, og om hvordan og hvorledes det alligevel burde anvendes i praksis (evt herhjemme). Men lad den bare ligge. Den altid fremragende Steven Brahms har en bog på vej, som jeg tror understøtter din pointe: http://www.amazon.co.uk/exec/obidos/ASIN/0691133212/ref=ord_cart_shr/202-4184681-6461419?%5Fencoding=UTF8&m=A3P5ROKL5A1OLE vh, Rasmus

  7. At kalde paradokset “Condorcets paradoks” må være et udtryk for eurocentrisme. Det mener i hvert fald min professor i politisk økonomi (R. Wintrobe) herovre i Canada. (Jeg ved virkelig ikke hvorfor – det må have været en svipser.)

  8. @7:Hils Wintrobe fra mig. Spørg ham evt. også gerne om en forklaring på det mærkelige udsagn. Jeg kender ikke mange inuitter, afrikanere, mayaere eller asiater, som spottede paradokset før den gode marquis. Måske Wintrobe lavede politisk ukorrekt sjov?

  9. Christian Bentsen

    18. oktober 2007 at 11:12

    Paradokset er måske lidt mere pædagogisk i denne form 25 vælgere: A>B>C19 vælgere: B>C>A 4 vælgere: B>A>C12 vælgere: C>A>B10 vælgere: C>B>AEt flertal 25+19+4= 48 foretrækker B fremfor C. Og et flertal 19+12+10= 41 foretrækker C fremfor A.Og da det er transitiv logik så gælder det at hvis B foretrækkes fremfor C som foretrækkes fremfor A så bør B være foretrukket fremfor A. Men det er ikke hvad der sker. Et flertal 25+12= 37 foretrækker A fremfor B…I Mellemøsten samt visse Afrikanske lande kommer Gaetano Mosca, Pareto samt Roberto Michels styrket ud hvad angår forklaringsmodeller.Holder vi os til good ol’ Danmark så er Anthony Downs værd at citere: “Parties in democratic politics are analogous to entrepreneurs in a profit seeking economy. In order to attain their private ends, they formulate whatever policies they believe will gain the most votes, just as entrepreneurs produce whatever products they believe will gain the most profits for the same reasons” Fra “An Economic Theory of Democracy”Det synes ikke videre stemmeslugende at indføre afgifter for hospitalsovernatninger, nedsættelse af topskatten endsige højere grønne afgifter…Men du bruger Marquis til at, hvad skal vi sige…, udlægge en dybere skepsis overfor den måde hvorpå demokratiet praktiseres. Og der vil jeg lægge mig på linie med din tidligere elev. For det første er ideen med valget jo ikke at stemme på et givent udfald men derimod på den kandidat/parti der synes bedst til at kæmpe for den enkelte vælgers præferencer. Dernæst så er der, som nævnt af Rasmus, ikke et deliberativt vakuum. Ideen med folketingssalen er bla. at levne plads til at man på baggrund af “samtale og (gode) argumenter” er indstillet på at ændre holdning over tid. Men demokrati er svært at forsvare som et i-sig-selv-fantastisk-system og tager sig bedre ud ved at forsvares mod alternativerne… Og alternativerne hænger ikke på træerne. Det nærmeste man kommer er nogle teknokratiske positioner der taler om hvorledes det ‘objektivt set’ er økonomisk fordelagtigt for en ikke nærmere defineret flertalsmasse at foretage x antal tiltag over en given periode. Selvom der fandtes det der var værre så var Aristoteles heller ikke begejstret for demokratiet. Alle dem der mener at have fundet de vise sten ønsker det i en eller anden udstrækning afskaffet eller erstattet med netop deres præferencer…Men det er så der hvor forfatningen viser sin styrke. Nu er det så de færreste forfatninger der tager hensyn til politikerers lyst til at spendere så måske Grundloven trænger til en revision med lad for guds skyld demokratiet – i dets nuværende form – bestå!

Skriv et svar

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

© 2020 Punditokraterne

Tema af Anders NorenOp ↑