Tag-arkiv: Covid-19

Hvor slemt skal det være, før man kan retfærdiggøre en nedlukning?

Forleden så jeg her på siden på antallet af døde på månedsbasis siden 2. Verdenskrig og sammenlignede de 900 måneder siden juni 1945 med en COVID-19-pandemi under ”svenske” og ”italienske” tilstande, som af mange, jeg har debatteret med på sociale medier, er blevet fremhævet som begrundelse nok i sig selv for, at det var rigtigt af regeringen at lukke økonomien ned og (midlertidigt) afskaffe en række centrale borgerrettigheder.

Min gennemgang viste, at der havde været 133 måneder siden krigen, hvor antallet af døde pr. 100.000 indbyggere havde været højere end april 2020 med ”svenske tilstande”. Og at COVID-19 ikke var i nærheden af at være lige så dødelig som december 1993 og december 1995, hvor influenzaen tog livet af tusinder af danskere.

Da jeg skrev indlægget, tænkte jeg, at det første jeg ville møde fra dem, der bakker op om nedlukningen, ville være udsagn a’la ”Ja, italienske tilstande! Men det kunne nemt være endt som Lombardiet, hvis ikke regeringen havde grebet ind. Det er Lombardiet, du skal sammenligne med!” Og reaktionen er da også kommet flere steder, så lad os se på, hvad lombardiske tilstande (eller sågar New York City-tilstande – for det er vel næste skridt) ville betyde for vores rangliste over de dødeligste måneder siden krigen.

Men før vi ser på tallene, så lad os for en kort stund forestille os, at vi kunne tage en tidsmaskine tilbage til 2019 og spørge folk på gaden dengang om, hvor slem en epidemi skulle være i forhold til 1993-epidemien, før man skulle lukke samfundet ned. Sundhedsstyrelsen placerede som bekendt COVID-19 på liste B over smitsomme sygdomme, og kunne derfor – som flere medier har påpeget – ikke anbefale en nedlukning af samfundet. Men hvad havde “folk på gaden” sagt? At den skulle være 5 gange så slem som influenzaen i 1993? 20 gange så slem?  100 gange så slem? Sammenligner vi med dødeligheden for kopper eller ebola, som er på Sundhedsstyrelsens liste A, så taler vi nok nærmere om, at de er 100 eller 500 gange så farlige. Hvad folk havde svaret, finder vi aldrig ud af, men at det havde været høje tal, er der nok ikke nogen tvivl om.

Det er også interessant at tænke lidt over, hvordan vi havde reageret i Danmark, hvis Sverige var blevet ramt af COVID-19 før Italien. Hvis svenske plejehjemsbeboere var døde, mens store dele af resten af samfundet var kørt videre, havde vi så lukket ned, selvom det gik galt i Italien (undskyld: Lombardiet!)? Eller havde vi tænkt, at så mange ting jo er anderledes i Italien, og at svenskerne havde fat i den lange ende ift. en dansk strategi?

Det er spekulationer. Men det er spekulationer, der er interessante at forholde sig til, når vi diskuterer, hvor dødelig COVID-19 er. Om den er 2, 5 eller måske hele 10 gange så farlig som influenza er i mine øjne mindre vigtigt i forhold til det centrale spørgsmål: Kan man forsvare den hårdhændede behandling, borgerne i Danmark har fået af magthaverne under COVID-pandemien (tænk blot på kvinden, der fik en bøde for at være på legeplads på Islands Brygge med sine børn).

Nå. Det var indledningen. Lad os vende tilbage til data. I nedenstående figur har jeg – udover svenske og italienske tilstande – tilføjet lombardiske og NYC-tilstande. Som det fremgår, så var der døde lidt flere end i 1993 og 1995, hvis vi havde haft lombardiske tilstande. Og en hel del flere, hvis vi havde haft et forløb som NYC, hvor ca. 25% af befolkningen har været smittet. (Man kan sikkert snævre endnu mere ind på et konkret område, og få tallene gjort endnu værre, men der stopper legen altså!).

Umiddelbart ser lombardiske tilstande ikke voldsomme ud i forhold til epidemien i 1993, men her skal man huske, at det ikke er nok at se på de umiddelbare tal. Pga. udvikling i demografi, lægevidenskab mv., ændrer den naturlige dødelighed sig over tid. Så i stedet må vi se på overdødeligheden. Det har jeg gjort i nedenstående figur, hvor jeg har normaliseret alle perioder i forhold til den gennemsnitlige dødelighed i de fem forudgående år og derefter beregnet den absolutte overdødeligheden. Figuren viser, at overdødeligheden i 1993 var 41% i 1993, mens den ville have været henholdsvis 97% og 180% med “lombardiske tilstande” eller “NYC-tilstande”. Altså henholdsvis 2,3 og 4,4 gange så slem som i december 1993.

Her skal man huske på, at jeg antager, at alle, der dør af COVID-19, ikke ville være døde af noget andet i samme måned, hvilket godt kan være problematisk, men at det havde været en ualmindelig slem omgang influenza, hvis vi havde haft NYC-tilstande (og sandsynligvis også lombardiske tilstande), er der ikke nogen tvivl om. Ift. NYC er det i øvrigt værd at bemærke, at det er sjældent at en fjerdedel af befolkningen bliver ramt af influenza, så en væsentlig del af overdødeligheden skyldes sandsynligvis, at der er relativt mange, der ikke er immune overfor sygdommen.

Der var en del, der har peget på, at man ikke kan/bør sammenligne Danmark og Sverige, fordi befolkningstætheden er meget forskellig. Argumentet er i mine øjne lidt dovent, fordi man ofte blot dividerer befolkningens størrelse med landets areal og ikke tager højde for, hvor folk rent faktisk bor. På samme måde ville befolkningstætheden i Kongeriget Danmark (altså inkl. Grønland og Færøerne) blive ufattelig lav, selvom alle nok kan se, at det ikke rigtig beskriver, hvor tæt folk rent faktisk bor. Men for at se, om jeg har snydt på vægtskålen, så lad os se på tallene.

Hvis man skal tage argumentet seriøst (og der er trods alt noget om det, selvom det som nævn er for simpelt at se på ét tal), så kan vi afskrive Lombardiet og – i allerhøjeste grad – NYC som sammenlignelige cases. Befolkningstætheden er simpelthen alt for stor ift. Danmark. Danmark ligger derimod tæt på gennemsnittet af Sverige og Italien, og her er det nok (eller bør være) interessant for mange, at overdødeligheden under svenske og italienske tilstande er lavere end i 1993 (og 1995 for den sags skyld) jf. ovenstående figur.

Da folk har det med at grave skyttegrave i den verserende debat, vil jeg gerne endnu engang påpege, at dødeligheden ikke afspejler de samlede omkostninger ved COVID-19-epidemien. Svenskerne har i meget høj grad ændret adfærd for at beskytte sig mod smitte. Og det har en omkostning, selvom de ikke dør. Det, vi i bund og grund diskuterer, er snarere, om statens magtmidler står mål med problemet, og om politikerne samlet set har gjort situationen bedre eller værre.

Min holdning – som jeg bl.a. har underbygget med to af de få (måske er det de eneste) cost benefit-analyser udarbejdet under epidemien – er, at svaret på det sidste spørgsmål er et klart nej. Politikerne har ikke samlet set gjort problemet mindre, men snarere mange gange større (analyserne findes her og her). Og dermed har vi nok også svaret på det første spørgsmål. Statens anvendelse af magt har ikke stået mål med problemet.

Det er én af grundende til, at jeg ret hurtigt var større tilhænger af den svenske tilgang end den danske. Man har stået på ekstrem usikker grund og har været i tvivl om, hvad der har været den rigtige løsning. Og i sådan en situation bør man i højere grad lade det være op til borgene at træffe valg på egne vegne. Staten kan ikke træffe gode valg, når den ikke aner, hvad der foregår, og hvilke præferencer befolkningen har (dette gælder selvfølgelig altid, men nok særligt, når alt er usikkert). Den svenske tilgang er nok ikke optimal, men givet at man har været uforberedte og ikke ved, hvad der foregår, er deres tilgang altså bedre end en tilgang, hvor staten anvender megen magt. Det er egentlig blot det, mine cost benefit-analyser bekræfter.

Jeg har i øvrigt spurgt flere politikere (bl.a. Henrik Dahl og Rasmus Jarlov), om de har set nogen dokumentation for at gevinsterne skulle overstige omkostningerne ved nedlukningen. De har begge svaret nej. Og det er egentlig nok den manglende interesse blandt (borgerlige) politikere generelt for, om gevinsterne med nedlukningen står mål med omkostningerne, der har gjort mig mest bekymret under COVID-19-pandemien…

PS: Her er mine teser fra seneste indlæg for, hvorfor vi er gået så meget i panik under COVID-19-pandemien. Forslag til nye (og bedre?) teser modtages med kyshånd. De fire teser er:

  • Mobilkameraer, sociale medier mv. har gjort folk uden for hospitalerne meget mere op-mærksomme på, hvad der sker. I 1993 fandtes disse ting ikke, så da det væltede ind med syge, kom billederne af grædende læger ikke ud til offentligheden. I stedet tog ældre og mere5 / 5erfarne læger fat i dem og forklarede, at sådan var det altså en gang imellem i influenza-sæ-sonerne (se også punkt 4 her).
  • COVID-19 er ikke influenza, og pleje- og sundhedssektor har derfor reageret anderledes denne gang end tidligere. Influenzasymptomer er velkendte og da influenzaen raserede på plejehjemmene i 1993 kaldte man familien ind, som holdt den syge i hånden til han/hun ån-dede ud. Sådan dør mange, og gevinsten ved at leve nogle måneder ekstra på hospitalet kan være lille i forhold til at ånde ud sammen med hele familien. Hvis COVID-19 er anderledes og har fået folk til i højere grad at sende de ramte på hospitalerne, er hospitalerne blevet over-svømmet i en grad, der ikke er set tidligere. I stedet for at dø hjemme og på plejehjemmene (decentralt) er de døde på hospitalerne (centralt), hvilket i Italien førte til billeder af lastbiler, der kørte væk fra hospitalerne med lig på ladet.
  • COVID-19 var ukendt, og mange var alvorligt bange for følgerne af sygdommen. Det gjaldt ikke i så høj grad Sundhedsstyrelsen og Statens Serum Institut, som de seneste mediehistorier har vist anbefalede en mere svensk tilgang, men for alle os lægmænd var det skræmmende. Og det fik os til — i hvert fald i begyndelsen — at billige nedlukningen på det daværende (of-fentligt tilgængelige) vidensgrundlag.
  • Vi overså 1993-epidemien. 1993 havde ikke 1. og 2. ovenfor, og derfor døde mange menne-sker, uden at vi gjorde noget. Vi overså epidemien og missede muligheden for at redde masser af mennesker. Jeg har svært ved at forestille mig, at nogen i Danmark vil mene, at vi skulle have lukket landet ned i 1993, men man kan sagtens forestille sig, at vi dagligt burde have testet plejepersonalet for influenza og have brugt håndsprit og værnemidler i langt større omfang i 1993, end vi gjorde. Det er måske en af læringerne, vi trods alt kan tage med fra COVID-19-pandemien.

133 måneder siden krigen har været mere dødelige end en april med “svenske tilstande”

Forleden spurgte David Trads sine følgere på Twitter om, hvilken krise der var/er størst siden 2. verdenskrig. Var det Den Kolde Krig (1945-91), Islamisk terror (2001-), Klimakrisen (1992-) eller Coronakrisen?

Afstemningen blev vundet af klimakrisen med 41% af stemmerne (som nok viser, at Trads undersøgelse ikke er helt repræsentativ), men kan man – ved hjælp af data – svare lidt bedre på spørgsmålet? Der er mange måder at opgøre størrelsen af en krise på, og man vil sikkert få forskellige svar afhængig af hvilken parameter man måler på. Men da alle i disse dage ser ud til at gå op i antal døde, er det det tal, jeg tager udgangspunkt i nedenfor.

Læs resten

Der skal færre end 60% til flokimmunitet

”Det er den første bølge, som er den værste. De næste bliver mildere, og på et tidspunkt vil 40-60 procent af befolkningen have fået sygdommen, og den vil finde en balance, hvor den bliver en naturlig infektion blandt alle mulige andre”. Sådan sagde Kåre Mølbak i et interview i Politiken d. 26. marts. Og siden har det i adskillige medier heddet sig, at flokimmunitet indtræder når ca. 60% af befolkningen er immune (se fx Berlingske, Politiken og Ingeniøren). De 60% svarer til flokimmuniteten i en simpel SIR-model (som beskrevet af min kollega, Otto Brøns-Petersen her), når R0 er 2,5 (så hver smittede i udgangspunktet (hvor ingen er immune og alle derfor er modtagelige for smitte) smitter 2,5 andre.

Men måske er der grund til i højere grad at hæfte sig ved den nedre grænse for Kåre Mølbaks interval. For som jeg tidligere har beskrevet, så er der mange grunde til at tro, at R0 vil falde, jo længere vi kommer hen i en epidemi. Det sker bl.a. som følge af superspredere, som jeg tidligere har omtalt her. Superspredere er personer, der kan smitte hundredvis af personer (som fx bartenderen med fløjten på after-ski stedet Kitzloch kan have gjort). Superspredere har størst risiko for at blive smittet i starten af en epidemi, og derfor vil R0 være højere i starten af epidemien, men falde løbende, efterhånden som flere og flere ”almindelige” mennesker bliver smittet (og supersprederne bliver immune).

Men superspredere er ikke de eneste, der adskiller sig fra gennemsnittet. Det gør de fleste. Supersprederne er bare de mest ekstreme, men der er stadig god grund til at tro, at de fleste ikke vil smitte 2,5 andre, men smitte flere eller færre afhængig af bl.a. hvor sociale de er. I et paper af Reich et al. (2020) modellerer de denne forskel blandt mennesker ved hjælp af en gammafordeling. De viser, at fordelingen af, hvor mange personer hvert enkelt individ smitter, har stor betydning for, hvor stor en andel af befolkningen, der smittes, før en epidemi dør ud pga. flokimmunitet.

Figuren nedenfor viser forløbet af en epidemi for forskellige værdier af gamma i Reich et al. (2020)’s model. Jo lavere gamma, jo mere heterogen er befolkningen. Gamma = 0,4 (rød kurve) giver den eksponentielle kurve, som vi kender fra SIR-modellen, mens gamma = 0,2 (gul kurve) giver et helt anderledes forløb med væsentligt færre smittede samlet set.

Reich et al. (2020) skriver, at “absent direct evidence, in what follows we select gamma=0.2, which makes the degree of the top 0.1 percentile (1/1,000 nodes) equal about 15 times the median degree. We think this is a somewhat reasonable approximation of the true distribution.” Hvorfor de tror det, kommer de ikke nærmere ind på. Jeg synes det lyder lavt, når jeg tænker på mit eget liv før jeg fik børn, hvor fodbold, fester osv. fyldte langt mere end i dag. Men hvis vi tager deres vurdering for gode varer, betyder det, at der samlet set er ca. 30% færre smittede, når epidemien dør ud, end med gamma = 0,4.

HVIS samme faktor kan ganges på resultaterne fra den simple SIR-model, så ender vi faktisk meget tæt på de 40 procent smittede, før vi opnår flokimmunitet, som var i den lave ende af Kåre Mølbaks interval. Er gamma kun 0,1 (så spredningen i social aktivitet er endnu større), opnås flokimmunitet endnu tidligere.

Menneskelig adfærd og incitamenter har selvfølgelig også betydning for R0. Men adfærden er i højere grad med til at sikre, at epidemien ikke løber løbsk (fordi folk passer mere på, hvis der er mange smittede i samfundet) og vi derfor holder os nærmere den grønne end den røde kurve. Derimod påvirker adfærden næppe, hvornår der opstår flokimmunitet, fordi vi alle — før eller siden — vil leve stort set, som før vi lærte at sige COVID-19.

Referencer

Reich, Ofir, Guy Shalev, og Tom Kalvari. 2020. “Modeling COVID-19 on a Network: Super-Spreaders, Testing and Containment”, april, 20. https://www.medrxiv.org/content/10.1101/2020.04.30.20081828v1.

Brug for at komme et par spadestik dybere end ekspertrapporten om COVID-19.

Regeringen er så småt begyndt at offentliggøre sit beslutningsgrundlag for håndteringen af coronakrisen. Det er på høje tid – og noget vi længe og ofte har efterlyst her på stedet.

Det tyder dog også på, at en del af grundlaget først har skulle skabes. I hvert fald blev der først for nylig nedsat en lille ekspertgruppe bestående af tre økonomer til at se på de økonomiske sider af epidemihåndteringen. Deres rapport kom i går og fortjener nogle kommentarer med på vejen. Men først og fremmest bør der kvitteres for arbejdet, der imponerende nok er produceret i løbet af bare fem dage. Man må dog håbe, at en væsentlig del af materialet var udarbejdet i de økonomiske ministerier på forhånd.

Branchelukning er et meget primitivt instrument.

Rapporten forsøger at give et meget groft billede af, hvilke brancher der er forbundet med størst smittetryk i forhold til den økonomiske værdiskabelse. Det giver en indikation af, hvor det er mest hensigtsmæssigt at holde lukket ned – og omvendt hvor det er vigtigst at prioritere genoplukning først. Rapporten finder, at fritids- og ungdomstilbud, barer og værtshuse og fitnesscentre giver mindst værditilvækst i forhold til smittetryk. Omvendt har universiteter, gymnasiale uddannelse og lufthavne størst værditilvækst i forhold til deres bidrag til smittetryk. Interessant nok har supermarkeder højere smittetryk og mindre værditilvækst end indkøbscentre!

Denne opgørelse er bedre end ingenting, men lukning af hele brancher er en meget grov og primitiv måde at styre smittetrykket på. Det samfundsøkonomiske tab ville være meget mindre, hvis man i stedet kunne skære de marginale aktiviteter væk i alle brancher. F.eks. ville det være en fordel at kunne skære nogle ligegyldige supermarkedsbesøg væk mod til gengæld at kunne åbne for ekstremt højt værdsatte besøg f.eks. i en butik i et storcenter.

Ideelt set burde vi i stedet for generel nedlukning af hele brancher have en skat på alle aktiviteter, der øger smitterisikoen. Der findes endda en elegant teori om, at skatten skal svare til de omkostninger, som den øgede smitterisiko påfører andre – den såkaldt eksterne omkostning. Når hverken regeringen eller ekspertudvalget har bragt en sådan skat på banen, har det den gode grund, at det er meget svært at identificere skattegrundlaget – altså at pege, hvornår og hvor meget vi øger smittetrykket.

Men manglen på at kunne anvende det bedste redskab kommer med en pris. Det gør det samfundsøkonomisk dyrere at nedbringe smittetrykket, og derfor er der ikke plads til så meget smittereduktion, som vi ellers kunne få for de samme penge.

Og spørgsmålet er, om der ikke findes andre alternativer til den meget primitive nedlukning af hele brancher. Jeg har selv foreslået, at man i stedet for bare at lukke f.eks. en restaurant ned, blot fordi det er en restaurant, i stedet kunne give den lov til at åbne, hvis den kunne dokumentere en tilstrækkelig smittehåndtering. Forslaget er blevet netop blevet fremført af DI og i de politiske forhandlinger.

Frivillig adfærd kontra obligatorisk nedlukning

Seruminstituttet har gjort den vigtige opdagelse, at det uventede kraftige fald i smittetrykket skyldes danskernes frivillige sociale distancering. Det bekræftes af den økonomiske rapport. Det er f.eks. iøjnefaldende, at aktiviteterne i en række smitterisikable brancher er faldet også i Sverige, selv om de godt må holde åbent der. Hotellernes omsætning er f.eks. faldet ca. 50 pct. i Danmark, men næsten 40 pct. i Sverige. Ekspertgruppen regner med, at under halvdelen af det danske BNP-fald som følge af krisen kan henføres til nedlukningen, og at mere end halvdelen skyldes frivillig distancering samt andre forhold (som udlandsefterspørgsel).

Der er imidlertid grund til at komme adskillige spadestik dybere.

Seruminstituttet er stadig præget af en tro på, at adfærden kan styres gennem formaninger. Der er imidlertid nok snarere tale om, at folk reagerer ganske rationelt på smitterisikoen. Det gør standardmodellen for epidemispredning mindre egnet for mennesker i forhold til f.eks. dyr. Den stigende dødelighed har fået folk til at øge deres sociale distancering, ligesom man må forvente, at en del af distanceringen vil aftage noget igen, når smittetrykket falder. Adfærden medfører altså af sig selv en udglatning af epidemikurven (se f.eks. John Cochranes illustrative modificering af SIR-modellen til at tage højde for adfærd).

Et vigtigt spørgsmål er, hvordan adfærd og tvungen nedlukning spiller sammen. Som udgangspunkt må man forvente, at de er substitutter: Hvis nedlukning får smittetrykket til at falde, vil en del af effekten blive modvirket af mindre social distancering end ellers. Det er ikke blot problematisk i sig selv. Hvor nedlukningen som sagt ret arbitrært lukker en hel branche ned, så må man formode, at folk vælger at distancere sig, hvor det gør mindst ondt. Frivillige distancering er altså en mere omkostningseffektiv metode, og derfor er det et problem, hvis den fortrænges af den ikke-omkostningseffektive nedlukning.

Men man kan dog ikke afvise, at nedlukning også i visse tilfælde kan forstærke frivillig distancering (altså virker komplementært). Vi går måske mindre ud, når der ikke er så meget at foretage sig ude i byen.

Derfor ville det være relevant at få belyst disse effekter, men det gør ekspertudvalget ikke. Den nøjes med at lægge Seruminstituttets mekaniske smittetrykseffekter til grund for de ovenfor omtalte beregninger.

Endelig er adfærdsspørgsmålet vigtigt i forbindelse med den overordnede strategi. Om frivillig distancering er nok eller ej, afhænger i høj grad af ambitionsniveauet. Ønsker man, at sygdommen dør ud, er frivillig distancering klart ikke nok. Spørgsmålet er så, om det er en realistisk og ønskelig ambition.

Planøkonomi er svært, planløs styring er værre

I den offentlige og politiske debat kan ind i mellem få det indtryk, at en nedlukket økonomi er en slags normaltilstand, og at det er genåbning som kræver særlig viden. Men realiteten er, at nedlukningstilstanden ikke alene er fuldstændig ekstraordinær, hvor regeringen har overtaget kontrollen over økonomiske processer, som normalt kører af sig selv. Det kræver desuden en meget klar planlægning, hvis omkostningerne ikke skal blive uoverstigelige – og den markedskonforme beskatningsløsning er som sagt ikke til rådighed. Derfor er det blevet økonomernes opgave at pege på behovet for viden og strategier. Det er en smule ironisk, fordi vi også ved, at planøkonomi er vanskeligt og stiller umulige krav til planlæggernes informationer og incitamenter.

Stiger antallet af døde COVID-19-patienter i Sverige eksponentielt?

Forleden havde jeg en diskussion i en kommentartråd til et opslag på Facebook om udviklingen i antal døde i Sverige. Jeg mente, der ikke var tale om en eksponentiel stigning, men det var der enkelte, der var uenige i. Fælles for os alle var, at vi prøvede at vurdere det ud fra en figur, men ikke ud fra analyser af data.

Men den slags diskussioner er heldigvis ret enkle at afgøre i Excel, så det har jeg gjort. Data er taget fra Our World in Data (som er et ret fedt sted at tjekke data) og viser antallet af døde pr. 1 mio. indbyggere pr. dag, siden der var mere end 0,1 døde pr. 1 mio. indbyggere pr. dag. Data er hentet 18. april 2020 kl. 20:30. Nedenfor ses figuren fra Our World in Data på en logaritmisk skala for de nordiske lande. Bemærk, at der er tale om 7-dages glidende gennemsnit (bemærk i øvrigt også, at Danmark ikke ligger særligt godt ift. de øvrige nordiske lande).

Spørgsmålet er nu, om udviklingen for Sverige er eksponentiel eller lineær. Jeg har på Facebook argumenteret for, at udviklingen ikke ville være eksponentiel. Otto Brøns-Petersen har tidligere forklaret, hvorfor udviklingen ikke er eksponentiel med konstant R0, men jeg vil derudover mene, at R0 ændrer sig over tid. Det er der mindst to grunde til:

  • Adfærd. Folk bliver mere forsigtige, når de ved(/tror), der er en farlig virus i omløb. Hvis ikke man ved, der er en virus, passer man ikke på. Hvis man ved, at meget få er smittede (i starten og slutningen af epidemien), behøver man kun være lidt forsigtig. Er rigtig mange smittede (fx i peak), er der stor gevinst ved at være forsigtig. Derfor vil den grundlæggende smittespredning (R0) ændre sig over tid.
  • Selection bias: Superspredere (folk der af forskellige grunde – fx fordi de bare er mere social og giver flere krammere – smitter rigtig mange) har størst sandsynlighed for at blive smittet i starten af en epidemi. Efterhånden som smitten bredes til “almindelige” borgere, vil R0 (som er gennemsnittet af smittetrykket) falde, selvom ingen ændrer adfærd.

Begge dele vil føre til, at smitten ikke vil udvikle sig efter de normale klokkeformer (den røde kurve, som ligner en eksponentiel kurve i starten) i et samfund af mennesker, mens kurverne sikkert passer bedre til at beskrive smitten i en dyreflok (hvor der dog også kan være superspredere). Dette er i øvrigt ikke en kritik af de modeller for smittespredningen, der bliver lavet fra forskellige sider, da jeg ikke har undersøgt, hvordan de mere avancerede modeller medregner adfærdseffekter.

En interessant ting ved selection bias er i øvrigt, at flokimmuniteten vil indtræde tidligere, end man normalt regner med, fordi andelen af immune sociale kontakter vil stige hurtigere end andelen af immune personer, alene fordi folk med mange sociale kontakter har større risiko for at blive smittet og immune. Hvis flokimmunitet indtræder ved 60% af kontakterne, kan andelen af smittede personer altså godt være lavere (jeg har ikke set nogen simuleringer af smittespredningen, der har dette med – heller ikke i denne video, som ellers er fremragende).

Anyway. Det er jo blot mine teorier, men lad os se, hvordan de passer på Sveriges data. Hvis min teori er rigtig, betyder det, at man vil se en eksponentiel vækst i starten, hvorefter den vil aftage og som minimum bliver mindre eksponentiel. Men nu gik diskussionen på Facebook jo på, om den var lineær eller eksponentiel. Figuren nedenfor viser, at selv hvis man ser på hele perioden, er R^2 faktisk højere med en lineær model (hvilket faktisk overrasker mig lidt, men reelt set er der vel også tale om uafgjort).

Men hvad hvis man deler data op i forskellige periode. Nedenstående figur viser, hvordan modellerne passer, hvis vi opdeler data i tre perioder (jeg har valgt en eksponentiel model i starten og taget den tidsperiode, der maksimerer R^2, mens de to lineære perioder er lavet på øjemål). Denne fremgang giver faktisk ret god evidens for, at der ikke er tale om eksponentiel vækst.

Vi kan selvfølgelig ikke vide, om det er de (begrænsede) restriktioner, den svenske regering har lagt på det svenske samfund, der har knækket kurven, om det er fordi en stor andel af befolkningen er immune (jf. Ottos indlæg), eller om det er adfærd. Men når man tager i betragtning, at det især er ældre og syge, der dør af COVID-19, er der ingen tvivl om, at de i hvert fald har et kraftigt incitament til at passe på ikke at blive smittet.

Hvorom alting er, tyder meget på, at det var mig, der havde ret. Udviklingen i antal døde er ikke eksponentiel i Sverige.

Hvad mangler vi at vide om regeringens strategi for COVID-19?

Vi er i den seneste uge blevet en anelse klogere om regeringens strategi for håndtering af coronaepidemien. Og måske også om, hvor der fremdeles mangler en strategi.

Jeg har tidligere skitseret de mulige strategier her – og efterlyst regeringens bud samt et beslutningsgrundlag at vælge på. Efter statsministerens sidste pressemøde har myndighederne frigivet en række analyser, som besvarer nogle af spørgsmålene. Finansministeren har omsider fremlagt en vurdering af nedlukningens økonomiske konsekvenser. Det bør vi kvittere for, men også bede om at få fyldt hullerne ud.

Det handler især om: Hvad er den langsigtede strategi (efter første epidemibølge)? Hvad koster og bidrager de forskellige nedlukningstiltag med? Hvordan kan kapaciteten i sundhedsvæsenet udbygges? Og hvorfor vil regeringen stadig ikke tage ordet flokimmunitet i sin mund, når man reelt styrer efter det?

Læs resten

Her er de mulige strategier for at håndtere corona. Hvad er regeringens?

Vi er flere uger inde i den omfattende nedlukning af Danmark på grund af corona-pandemien. Og vi savner stadig fuldstændig grundlæggende oplysninger om det grundlag, de politiske beslutninger er truffet på. Vi kender ikke engang regeringens strategi – hvis den da har en ud over den første periode. Med de potentielt enorme omkostninger både nationaløkonomisk og menneskeligt er det vigtigt at få på bordet.

Det giver ikke sig selv, hvordan pandemien skal bekæmpes. Men dens grundlæggende mekanik gør det muligt at tænke lidt over, hvad der er af mulige strategier.

Læs resten

Hvor mange vil blive smittet med covid-19, inden det er ovre?

Der er mange usikre momenter knyttet til konsekvenserne af den igangværende corona-pandemi. Hvor mange vil blive smittet, hvor mange vil dø, og hvad bliver de nationaløkonomiske konsekvenser? Der er meget varierende bud lige i øjeblikket. Dette blogindlæg handler om de to første spørgsmål.

Sagt med det samme, så har jeg ingen ekspertise i epidemiologi. Men her er nogle meget simple, og dog alligevel illustrative matematiske sammenhænge mellem få centrale størrelser. Det giver en ramme at tænke inden for (og skal ikke tages som en prognose – den må I selv lave).

Den første størrelse, R, er, hvor mange én smittet giver sin smitte videre til. Rammer man f.eks. to personer, er R lig med to. Den anden er S, som betegner den andel af befolkningen, som er modtagelig for smitte. 1-S er modsat den andel af befolkningen som er immun. Man kan være immun, fordi man allerede har haft sygdommen, fordi man er vaccineret, eller fordi man af andre grunde ikke er modtagelig.

Hvornår vil sygdommen holde op med at blive spredt? Så længe hver sygdomsramt smitter mindst én person mere, som også bliver syg, vil sygdommen fortsætte. Når hver smittet derimod i gennemsnit videregiver sygdommen til mindre end én person mere, begynder sygdommen at dø ud.

Det punkt, hvor sygdommen holder op at vokse i udbredelse, er med andre ord når:

RS = 1

Det vil derfor sige, at sygdommen vokser indtil*):

S = 1/R

Er R f.eks. 2, vil sygdommen vokse indtil det punkt, hvor halvdelen af befolkningen kan smittes, mens den anden halvdel er immun.

Og hvis man kun kan blive immun ved at have haft sygdommen – og altså ikke ved f.eks. at blive vaccineret — ja så vil 1-S blive syge, før sygdommen klinger af. Ved at omordne udtrykket lidt fås antallet af immune, når sygdommen begynder at klinge af:

1 – S = (R-1)/R

Som man kan se, vil den andel, som bliver sygdomsramt i løbet af pandemien, afhænge af R. Jo større R, desto tættere kommer brøken på én. Er R 10, vil 90 pct. blive smittet.

I figuren har jeg vist sammenhængen mellem størrelsen af R og andelen af smittede, 1-S. Som man kan se, har størrelsen af R en meget stor betydning navnlig, når niveauet ligger i den lave ende. En lille stigning i R har stor effekt på den andel, der ender med at blive smittet, før sygdommen klinger af. Det betyder også, at usikkerheden er stor, når man regner med et lavt R. Ved et R på 1, vil sygdommen klinge af med det samme, mens den ved på et R på 2 vil smitte halvdelen af befolkningen. Ved et R på 3 vil den ramme 2/3 af befolkningen.

Det kan vise, hvorfor små justeringer i smitterisiko kan begrunde store politikændringer, når man i udgangspunktet skønner R lavt.

 

Hvor mange dødsfald vil der komme? Det afhænger af, hvor mange af de syge, som dør. Fataliteten vil som udgangspunkt være proportional med den andel af befolkningen, 1-S, som er immune: Når man bliver smittet, bliver man enten immun eller dør af den. Fatalitetsraten ved covic-19 er der mange bud på. Denne rate kan man gange med 1-S for at få den omtrentlige fatalitet for hele befolkningen. Det betyder, at den usikkerhed, som knytter sig til 1-S også gælder antallet dødsfald. Desværre kan man ikke udelukke risikoen for, at covid-19 kan ende med at koste rigtig mange livet, om end risikoen selvsagt er størst blandt dem, som i forvejen har en høj overdødelig.

Men fatalitetsraten kan naturligvis afhænge af antallet af smittede, hvis der opstår kapacitetsproblemer i sundhedsvæsenet. Ved et lille antal kritisk syge vil alle kunne tilbydes behandles, mens et stort antal kan resultere i, at nogle syge, som ellers ville have overlevet, ikke gør det.

Det er vigtigt at være opmærksom på, hvordan antallet af smittede vil forløbe. I begyndelsen af epidemiudbruddet, når andelen af smitbare er meget stort, vil væksten være eksponentiel. Hver syg smitter jo RS, og når S er tæt på én, vil antallet af nye smittede være tæt på R. Men i takt med, at andelen af smitbare falder, vil S komme til at dominere, hvor mange nye der smittes.

Denne sammenhæng kan også være med til at forklare, hvorfor et lille land kan virke hårdere angrebet end et stort land i begyndelsen af en epidemi. Hvis epidemien begynder med én smittet i både et stort og et lille land, vil antallet af smittede vokse lige hurtigt (hvis R er ens i de to lande). Men S vil falde hurtigere i det lille land end det store, fordi andelen af immune vokser hurtigere, når antallet af immune vokser med det samme i udgangssituationen.

Denne lille matematiske eksercits kan illustrere nogle pointer omkring den nuværende politiske indsats:

Hjælper det at begrænse smitterisikoen, R? Ja, der er egentlig to scenarier. Det ene er, hvis man kan begrænse R så meget, at sygdommen bliver slået ihjel. Men jo færre, der allerede er eller har været smittet, når man griber ind, desto vanskeligere er det at slå sygdommen ihjel. Man kæmper jo mod et højt S.

Det andet scenario er, hvor man midlertidigt holder R nede. Og det er helt klart det scenario, regeringen opererer i. Ved at nedsætte kontakten mellem borgerne i en periode falder R. Man kan sige, at det ikke hjælper så meget at holde smitterisikoen nede, hvis det samme antal alligevel får sygdommen bare på lidt længere sigt. Men der er faktisk nogle rigtigt gode grunde. For det første kan man begrænse belastningen af sundhedsvæsenet, så dødeligheden ikke accelererer. Hvis man strækker sygdomsforløbet ud, bliver kapacitetsbelastningen mindre, når sygdomsudbruddet topper. Til gengæld tager det længere tid at komme igennem. En lavere belastning hjælper altså med at forhindre, at kapacitetspresset øger fatalitetsraten, så flere ender med at dø. For det andet kan sygdommen mildnes med tiden, så fatalitetsraten falder. Det vil også begrænse det endelige dødstal. Vira har faktisk en tendens til at blive mildere med tiden, fordi lettere varianter bliver mere udbredt (men da det afhænger af tilfældigheder, er det ikke en garanti). For det tredje kan en forsinkelse af sygdomsforløbet måske købe os lidt tid til at udvikle en vaccine. Hvis folk kan blive immune på anden måde end ved at få sygdommen, vil færre dø og få de ubehageligheder, der under alle omstændigheder er ved at være syg.

Der er naturligvis begrænsninger på, hvor langt disse få simple ligninger kan bringe os. Et problem er f.eks. antagelsen om, at smittede, der bliver raske igen, forbliver immune. Den holder ikke i det lange løb, fordi vira muterer, så kan de blive smittefarlige igen, sådan som vi f.eks. kender det fra almindelig influenza, der vender tilbage hver sæson i nye varianter. Det samme kan tænkes at ske med covid19-coronaen. Det vil dog så forhåbentligt blive med lavere dødelighed (almindelig influenza har en fatalitetsrate på omkring 1 pct.). Det er heller ikke ukendt, at en pandemi topper to gange, fordi der er sæsonvariation i smitteintensiteten. Myndighederne regner med, at antallet af smittede vil falde i sommerperioden og øges igen frem mod vinteren, hvis den har sæsonvariation som en almindelig influenza, men det vides ikke.

Som jeg indledte med at sige, så ligger epidemier uden for mit fagspeciale, og jeg har ikke opstillet en fuld model for, hvordan covid-19 virker. Vi har kun set på nogle centrale mekanismer, og hvordan de kan have påvirket de politiske valg. Jeg synes til gengæld, at det er helt afgørende, at myndigheder lægger deres beslutningsgrundlag på bordet.

Det er vigtigt af to grunde. For det første er doseringen af politikken vigtig. Jeg har nævnt nogle grunde til, at der kan være god ræson i at justere politikken, når en størrelse som R ændrer sig. Men regeringen bør vise hvorfor. For det andet er der både gevinster og ulemper ved forskellige tiltag. En god politik kan ikke bare begrundes med sine fordele, men at fordelene overstiger ulemperne, og at der ikke findes en alternativ politik med endnu større nettogevinster. Det spiller også en rolle, hvordan man vælger af veje forskellige slags fordele og ulemper. Det er et normalt krav til en regering, at den redegør for sit beslutningsgrundlag og vægtning – og det bliver ikke mindre, når der er tale om så vigtigt et problem som dette.