Men måske er der grund til i højere grad at hæfte sig ved den nedre grænse for Kåre Mølbaks interval. For som jeg tidligere har beskrevet, så er der mange grunde til at tro, at R0 vil falde, jo længere vi kommer hen i en epidemi. Det sker bl.a. som følge af superspredere, som jeg tidligere har omtalt her. Superspredere er personer, der kan smitte hundredvis af personer (som fx bartenderen med fløjten på after-ski stedet Kitzloch kan have gjort). Superspredere har størst risiko for at blive smittet i starten af en epidemi, og derfor vil R0 være højere i starten af epidemien, men falde løbende, efterhånden som flere og flere ”almindelige” mennesker bliver smittet (og supersprederne bliver immune).

Men superspredere er ikke de eneste, der adskiller sig fra gennemsnittet. Det gør de fleste. Supersprederne er bare de mest ekstreme, men der er stadig god grund til at tro, at de fleste ikke vil smitte 2,5 andre, men smitte flere eller færre afhængig af bl.a. hvor sociale de er. I et paper af Reich et al. (2020) modellerer de denne forskel blandt mennesker ved hjælp af en gammafordeling. De viser, at fordelingen af, hvor mange personer hvert enkelt individ smitter, har stor betydning for, hvor stor en andel af befolkningen, der smittes, før en epidemi dør ud pga. flokimmunitet.

Figuren nedenfor viser forløbet af en epidemi for forskellige værdier af gamma i Reich et al. (2020)’s model. Jo lavere gamma, jo mere heterogen er befolkningen. Gamma = 0,4 (rød kurve) giver den eksponentielle kurve, som vi kender fra SIR-modellen, mens gamma = 0,2 (gul kurve) giver et helt anderledes forløb med væsentligt færre smittede samlet set.

Reich et al. (2020) skriver, at “absent direct evidence, in what follows we select gamma=0.2, which makes the degree of the top 0.1 percentile (1/1,000 nodes) equal about 15 times the median degree. We think this is a somewhat reasonable approximation of the true distribution.” Hvorfor de tror det, kommer de ikke nærmere ind på. Jeg synes det lyder lavt, når jeg tænker på mit eget liv før jeg fik børn, hvor fodbold, fester osv. fyldte langt mere end i dag. Men hvis vi tager deres vurdering for gode varer, betyder det, at der samlet set er ca. 30% færre smittede, når epidemien dør ud, end med gamma = 0,4.

HVIS samme faktor kan ganges på resultaterne fra den simple SIR-model, så ender vi faktisk meget tæt på de 40 procent smittede, før vi opnår flokimmunitet, som var i den lave ende af Kåre Mølbaks interval. Er gamma kun 0,1 (så spredningen i social aktivitet er endnu større), opnås flokimmunitet endnu tidligere.

Menneskelig adfærd og incitamenter har selvfølgelig også betydning for R0. Men adfærden er i højere grad med til at sikre, at epidemien ikke løber løbsk (fordi folk passer mere på, hvis der er mange smittede i samfundet) og vi derfor holder os nærmere den grønne end den røde kurve. Derimod påvirker adfærden næppe, hvornår der opstår flokimmunitet, fordi vi alle — før eller siden — vil leve stort set, som før vi lærte at sige COVID-19.

Referencer

Reich, Ofir, Guy Shalev, og Tom Kalvari. 2020. “Modeling COVID-19 on a Network: Super-Spreaders, Testing and Containment”, april, 20. https://www.medrxiv.org/content/10.1101/2020.04.30.20081828v1.

Jeg har tidligere skitseret de mulige strategier her – og efterlyst regeringens bud samt et beslutningsgrundlag at vælge på. Efter statsministerens sidste pressemøde har myndighederne frigivet en række analyser, som besvarer nogle af spørgsmålene. Finansministeren har omsider fremlagt en vurdering af nedlukningens økonomiske konsekvenser. Det bør vi kvittere for, men også bede om at få fyldt hullerne ud.

Det handler især om: Hvad er den langsigtede strategi (efter første epidemibølge)? Hvad koster og bidrager de forskellige nedlukningstiltag med? Hvordan kan kapaciteten i sundhedsvæsenet udbygges? Og hvorfor vil regeringen stadig ikke tage ordet flokimmunitet i sin mund, når man reelt styrer efter det?

Flokimmunitet eller ej

Et af de helt afgørende valg er således, om den såkaldte flokimmunitet skal søges undgået eller ej. Valget står da mellem enten at begrænse smittespredningen kraftigt helt frem til det tidspunkt, hvor der kommer en vaccine (eller, næppe realistisk, at sygdommen dør ud af sig selv), eller også at styre smittespredningen nok til at forhindre kapacitetsmangel i sundhedsvæsenet, men at acceptere gradvis immunisering, indtil befolkningen opnår flokimmunitet.

Statsministeren (og fagdirektør Kåre Mølbak, tydeligvis udstyret med talebobler fra kommunikationsfolk) svarede på sit pressemøde de journalister (som efterhånden er ved at se den helt afgørende betydning af spørgsmålet) ved at tale sort, eller i det mindste ret indforstået. Mølbak gentog, at folkimmunitet ikke er en strategi, men en uomgængelig biologisk realitet. Mette Frederiksen henviste igen og igen til, at ”regeringens strategi er den grønne kurve”.

De har naturligvis semantisk ret i, at flokimmunitet ikke i sig selv er en strategi. Men valget mellem at forsøge at undgå den eller at anerkende det som en vanskeligt omgængelig realitet er et strategisk valg. Ser man på, hvad den simple grafiske kurve bogstavelig talt viser, er det, at sygdommen skal styres, så smittetallet midlertidigt holdes nede under kapacitetsgrænsen, men omvendt strækkes ud, så lige så mange i sidste ende bliver smittede som ved en ukontrolleret epidemi.

Så uagtet, at statsministeren ikke vil tage ordet i sin mund, så må det konstateres, at regeringen ser i øjnene, at vi ikke kommer udenom opbygning af flokimmunitet.

De skuffede reaktioner på sociale medier fra fortalerne for nedlukning, indtil en vaccine måtte vise sig, vidner om, at tiøren vist er ved at falde. Der har også været en del vrede fra den kant. Den er forståelig nok; på vej til flokimmunitet vil mange mennesker miste livet. Det er grusomt at tænke på. Men hvis flokimmunitet er uundgåeligt, så er det dødsfald, der ikke kan undgås ved bare at være imod dem. Desuden kan man ikke bare lukke øjnene for omkostningerne ved en meget langvarig nedlukning, herunder i form af dødsfald fra andre lidelser, som bliver fortrængt af COVID-19. Endelig er det i stigende grad klart, at en hård nedlukning fører til både folkelig og politisk udmattelse, som kan føre til et stemningsskift, så nedlukningen ville blive opgivet igen, længe inden en vaccine er udviklet.

Hvad er de økonomiske omkostninger ved nedlukning?

Nogle har måske haft det indtryk, at nedlukning betød, at vi blot satte alt andet ”på pause”, indtil infektionsomfanget først gav sig og siden kunne holdes i ave indtil videre. En slags nulalternativ. Men nedlukning er ikke et nulalternativ. Nedlukning har meget store økonomiske omkostninger. Det er en afgørende hindring for, at det er realistisk blot at holde nedlukket, indtil en vaccine viser.

Regeringen og de økonomiske ministerier har været bemærkelsesværdigt tavse om de økonomiske omkostninger ved nedlukningen – til trods for at vi sandsynligvis står over for det voldsomste tilbageslag i nogens erindring i år.

Jeg har selv forsøgt at regne på størrelsesordenen af tilbageslaget. Der er ikke tale om en prognose, for uden at kende nedlukningens længde og omfang er det umuligt at give endeligt et skøn. Man må derimod tage udgangspunkt i scenarier for varigheden og omfanget af nedlukningen. Som udgangspunkt koster én måneds nedlukning et fald i den årlige økonomiske vækst på knap 1½ procentpoint (men noget kan indhentes igen navnlig ved kortere nedlukning). Det svarer til knap 30 mia.kr.  

I det mildeste scenario, hvor nedlukningen varer til sommer og ikke længere, vil chokket til væksten være 3,8 pct.point i 2020. I det midterste scenario er det 7,3 pct.point. Her udbygges kapaciteten i sundhedsvæsenet betydeligt, så en ny og kraftigere bølge af epidemien kan overstås hurtigere end første bølge frem til sommer. I det andet yderpunkt er Danmark lukket ned, indtil en vaccine er udviklet om måske 18 måneder (hvis en sådan overhovedet kan udvikles). Det vil give et chok på 14,4 pct.point i 2020 og 10,2 pct.point i 2021.

Nationalbanken og De Økonomiske Råds Sekretariat har efterfølgende hver offentliggjort lignende scenario-beregninger, som i grove træk når frem til det samme (men med hhv. tre og to scenarier). Først for nylig (9. april) fremlagde regeringen Finansministeriets tal for tre scenarier. De adskiller sig heller ikke afgørende fra de tre mildeste scenarier i mit notat. Det er tydeligt, at Finansministeriet ikke regner med, at der kommer en nedlukning under en anden sygdomsbølge på niveau med den nuværende nedlukning. Det understøtter i øvrigt, at regeringen reelt satser på flokimmunitet trods de tågede formuleringer fra statsministeren.

Der er altså enighed om, at den allerede gennemførte nedlukning vil have store omkostninger, og at det er meget sandsynligt, at vi vil se en mere negativ vækst i år end under finanskrisen i 2009.

Til et tilstrækkeligt beslutningsgrundlag hører dog ikke alene scenario-beregninger som de nævnte, men også en vurdering af effekterne af konkrete nedlukningstiltag. F.eks. hvad koster det, og hvor meget hjælper det at holde frisører eller fysioterapeuter lukket ned? Ellers er det helt umuligt at vurdere konsekvenserne af at lempe nedlukningen eller finde mest påtrængende steder at åbne.

Offentligheden har højst kunnet slutte sig til vurderingerne. Regeringen fik tre modeller for at reduktion af nedlukningen efter påske fra embedsværket. Typisk hælder indstillingen i den situation til den midterste model. Regeringen valgte imidlertid en endnu mere skrabet model end den mindst lempelige. Man kan imidlertid ikke se, hvad det indebærer af ekstra omkostninger, udover at det understøtter billedet af en hårdere grad af nedlukning, end der er fagligt belæg for.

De økonomiske elementer glimrer således ved deres fravær i de modelberegninger af epidemiforløbet, regeringen har lagt frem. Dermed er de heller ikke egnet til at træffe beslutninger ud fra. De eneste variable, som indgår, er omfanget af nedlukningen (repræsenteret ved transmissionsraten R) og belastningen af kapaciteten i sundhedsvæsenet i første bølge. Taget for pålydende burde nedlukningen være så hård som muligt, fordi det entydigt forbedrer målvariablen. Men det er naturligvis nonsens, fordi der er andre konsekvenser – både økonomiske og med hensyn kapaciteten i sundhedsvæsenet senere hen.

Hvad er strategien på længere sigt?

Det helt centrale spørgsmål, som regeringen stort set ikke har løftet sløret for, er håndteringen af epidemien efter første bølge, altså til sommer. Hvis man anerkender, at flokimmunitet er uundgåelig, så er det samtidig givet, at epidemien ikke kan forventes at dø ud efter første bølge. Det er under alle omstændigheder urealistisk at forestille sig, at den forsvinder globalt – og gør den ikke det, vil den komme tilbage, medmindre vi lukker os helt af for omverdenen, så hverken danskere kan rejse til udlandet eller udlændinge til Danmark. Det er ikke realistisk eller ønskeligt.

Sundhedsmyndighederne forudsætter, at COVID-19 vil udvise sæsonvariation på samme måde som almindelig influenza, men de ved det ikke. I så fald kan vi stå over for en umiddelbar fortsættelse af epidemien til sommer. Det er også muligt, at der kommer mere end én ekstra bølge. Det er muligt, at dødeligheden vil være mindre i næste bølge (på længere sigt har de mutationer af virus, som ikke er så dødelige, et fortrin), men det kan også være, at den lige som under den spanske syge bliver værre.

Under alle omstændigheder vil der med meget stor sandsynlighed skulle kæmpes med epidemien længe endnu. Det er stadig forventningen, at 10 pct. af befolkningen vil have været smittet efter første bølge, så der udestår stadig omkring 50 pct., før der opstår flokimmunitet. Foreløbig er vi formentlig få procent henne i forløbet.

Men som sagt er der et komplet fravær af strategiske overvejelser på længere sigt. Det kan indvendes, at det er svært at håndtere en udfordring, man ikke ved særlig meget om. Men denne usikkerhed er en del af det grundlag, man må lægge sin strategi ud fra.

Og én ting er ganske givet: Jo hårdere nedlukning, vi gennemfører under første bølge, desto vanskeligere bliver det at klare de næste. Nedlukning nu medfører, at vi kommer til at gå ind i anden bølge med lavere immunitet i befolkningen og en væsentligt mere svækket økonomi. Der er en vigtig afvejning at foretage mellem indsatsen nu og mulighederne senere. Det er et afgørende strategisk element.

Hvor stor er kapaciteten, og hvordan kan den udvides?

En vigtig variabel er sundhedsvæsenets kapacitet. Den ”grønne kurve” handler jo om at holde belastningen under kapacitetsgrænsen. Derfor er det helt afgørende, hvor hurtigt og hvor meget den kan udvides. Forudsætningen for, at den anden (og måske tredje) sygdomsbølge ikke bliver så belastende ikke bare for sundhedssektoren, men også resten af samfundet, er en større kapacitet, fordi kapacitet og muligheden for at holde økonomien åben hænger sammen. I mine beregninger af de økonomiske konsekvenser af COVID-19 er varigheden af nedlukningen som sagt helt afgørende, og varigheden afhænger igen af kapaciteten.

Sundhedsstyrelsen har offentliggjort en vurdering af kapaciteten. Den efterlader dog meget tilbage at ønske. Det handler mest om, at intensivkapaciteten beror på aktiviteten i resten af sundhedsvæsenet. Der er mellem 400-1.200 pladser, afhængigt af om anden behandlingsaktivitet sættes i bero (bl.a. fordi anæstesisygeplejesker er en knap ressource). Men kapacitet bør forstås i bredeste forstand. Hvor er der mulige substitutter til de mest knappe faktorer blandt personale og udstyr, som kan komme i spil? F.eks. har ingeniører fra Nordjylland udviklet en respirator, som kan fremstilles af almindelige komponenter til en væsentligt lavere pris end traditionelt udstyr.

Planmyndigheder er normalt ikke gode til skalering og dynamik. Det lægger begrænsninger på mulighederne for at udvide kapaciteten. Det kræver, at private virksomheder kommer i spil. Derfor kunne der være en grund til at udlove præmier for udvikling af udstyr, som lemper kapacitetsbegrænsningen – på samme måde som private virksomheder er gået i gang med at producere værnemidler (masker, håndsprit osv.) i større skala.

Sagt med det samme, så har jeg ingen ekspertise i epidemiologi. Men her er nogle meget simple, og dog alligevel illustrative matematiske sammenhænge mellem få centrale størrelser. Det giver en ramme at tænke inden for (og skal ikke tages som en prognose – den må I selv lave).

Den første størrelse, R, er, hvor mange én smittet giver sin smitte videre til. Rammer man f.eks. to personer, er R lig med to. Den anden er S, som betegner den andel af befolkningen, som er modtagelig for smitte. 1-S er modsat den andel af befolkningen som er immun. Man kan være immun, fordi man allerede har haft sygdommen, fordi man er vaccineret, eller fordi man af andre grunde ikke er modtagelig.

Hvornår vil sygdommen holde op med at blive spredt? Så længe hver sygdomsramt smitter mindst én person mere, som også bliver syg, vil sygdommen fortsætte. Når hver smittet derimod i gennemsnit videregiver sygdommen til mindre end én person mere, begynder sygdommen at dø ud.

Det punkt, hvor sygdommen holder op at vokse i udbredelse, er med andre ord når:

RS = 1

Det vil derfor sige, at sygdommen vokser indtil*):

S = 1/R

Er R f.eks. 2, vil sygdommen vokse indtil det punkt, hvor halvdelen af befolkningen kan smittes, mens den anden halvdel er immun.

Og hvis man kun kan blive immun ved at have haft sygdommen – og altså ikke ved f.eks. at blive vaccineret — ja så vil 1-S blive syge, før sygdommen klinger af. Ved at omordne udtrykket lidt fås antallet af immune, når sygdommen begynder at klinge af:

1 – S = (R-1)/R

Som man kan se, vil den andel, som bliver sygdomsramt i løbet af pandemien, afhænge af R. Jo større R, desto tættere kommer brøken på én. Er R 10, vil 90 pct. blive smittet.

I figuren har jeg vist sammenhængen mellem størrelsen af R og andelen af smittede, 1-S. Som man kan se, har størrelsen af R en meget stor betydning navnlig, når niveauet ligger i den lave ende. En lille stigning i R har stor effekt på den andel, der ender med at blive smittet, før sygdommen klinger af. Det betyder også, at usikkerheden er stor, når man regner med et lavt R. Ved et R på 1, vil sygdommen klinge af med det samme, mens den ved på et R på 2 vil smitte halvdelen af befolkningen. Ved et R på 3 vil den ramme 2/3 af befolkningen.

Det kan vise, hvorfor små justeringer i smitterisiko kan begrunde store politikændringer, når man i udgangspunktet skønner R lavt.

Hvor mange dødsfald vil der komme? Det afhænger af, hvor mange af de syge, som dør. Fataliteten vil som udgangspunkt være proportional med den andel af befolkningen, 1-S, som er immune: Når man bliver smittet, bliver man enten immun eller dør af den. Fatalitetsraten ved covic-19 er der mange bud på. Denne rate kan man gange med 1-S for at få den omtrentlige fatalitet for hele befolkningen. Det betyder, at den usikkerhed, som knytter sig til 1-S også gælder antallet dødsfald. Desværre kan man ikke udelukke risikoen for, at covid-19 kan ende med at koste rigtig mange livet, om end risikoen selvsagt er størst blandt dem, som i forvejen har en høj overdødelig.

Men fatalitetsraten kan naturligvis afhænge af antallet af smittede, hvis der opstår kapacitetsproblemer i sundhedsvæsenet. Ved et lille antal kritisk syge vil alle kunne tilbydes behandles, mens et stort antal kan resultere i, at nogle syge, som ellers ville have overlevet, ikke gør det.

Det er vigtigt at være opmærksom på, hvordan antallet af smittede vil forløbe. I begyndelsen af epidemiudbruddet, når andelen af smitbare er meget stort, vil væksten være eksponentiel. Hver syg smitter jo RS, og når S er tæt på én, vil antallet af nye smittede være tæt på R. Men i takt med, at andelen af smitbare falder, vil S komme til at dominere, hvor mange nye der smittes.

Denne sammenhæng kan også være med til at forklare, hvorfor et lille land kan virke hårdere angrebet end et stort land i begyndelsen af en epidemi. Hvis epidemien begynder med én smittet i både et stort og et lille land, vil antallet af smittede vokse lige hurtigt (hvis R er ens i de to lande). Men S vil falde hurtigere i det lille land end det store, fordi andelen af immune vokser hurtigere, når antallet af immune vokser med det samme i udgangssituationen.

Denne lille matematiske eksercits kan illustrere nogle pointer omkring den nuværende politiske indsats:

Hjælper det at begrænse smitterisikoen, R? Ja, der er egentlig to scenarier. Det ene er, hvis man kan begrænse R så meget, at sygdommen bliver slået ihjel. Men jo færre, der allerede er eller har været smittet, når man griber ind, desto vanskeligere er det at slå sygdommen ihjel. Man kæmper jo mod et højt S.

Det andet scenario er, hvor man midlertidigt holder R nede. Og det er helt klart det scenario, regeringen opererer i. Ved at nedsætte kontakten mellem borgerne i en periode falder R. Man kan sige, at det ikke hjælper så meget at holde smitterisikoen nede, hvis det samme antal alligevel får sygdommen bare på lidt længere sigt. Men der er faktisk nogle rigtigt gode grunde. For det første kan man begrænse belastningen af sundhedsvæsenet, så dødeligheden ikke accelererer. Hvis man strækker sygdomsforløbet ud, bliver kapacitetsbelastningen mindre, når sygdomsudbruddet topper. Til gengæld tager det længere tid at komme igennem. En lavere belastning hjælper altså med at forhindre, at kapacitetspresset øger fatalitetsraten, så flere ender med at dø. For det andet kan sygdommen mildnes med tiden, så fatalitetsraten falder. Det vil også begrænse det endelige dødstal. Vira har faktisk en tendens til at blive mildere med tiden, fordi lettere varianter bliver mere udbredt (men da det afhænger af tilfældigheder, er det ikke en garanti). For det tredje kan en forsinkelse af sygdomsforløbet måske købe os lidt tid til at udvikle en vaccine. Hvis folk kan blive immune på anden måde end ved at få sygdommen, vil færre dø og få de ubehageligheder, der under alle omstændigheder er ved at være syg.

Der er naturligvis begrænsninger på, hvor langt disse få simple ligninger kan bringe os. Et problem er f.eks. antagelsen om, at smittede, der bliver raske igen, forbliver immune. Den holder ikke i det lange løb, fordi vira muterer, så kan de blive smittefarlige igen, sådan som vi f.eks. kender det fra almindelig influenza, der vender tilbage hver sæson i nye varianter. Det samme kan tænkes at ske med covid19-coronaen. Det vil dog så forhåbentligt blive med lavere dødelighed (almindelig influenza har en fatalitetsrate på omkring 1 pct.). Det er heller ikke ukendt, at en pandemi topper to gange, fordi der er sæsonvariation i smitteintensiteten. Myndighederne regner med, at antallet af smittede vil falde i sommerperioden og øges igen frem mod vinteren, hvis den har sæsonvariation som en almindelig influenza, men det vides ikke.

Som jeg indledte med at sige, så ligger epidemier uden for mit fagspeciale, og jeg har ikke opstillet en fuld model for, hvordan covid-19 virker. Vi har kun set på nogle centrale mekanismer, og hvordan de kan have påvirket de politiske valg. Jeg synes til gengæld, at det er helt afgørende, at myndigheder lægger deres beslutningsgrundlag på bordet.

Det er vigtigt af to grunde. For det første er doseringen af politikken vigtig. Jeg har nævnt nogle grunde til, at der kan være god ræson i at justere politikken, når en størrelse som R ændrer sig. Men regeringen bør vise hvorfor. For det andet er der både gevinster og ulemper ved forskellige tiltag. En god politik kan ikke bare begrundes med sine fordele, men at fordelene overstiger ulemperne, og at der ikke findes en alternativ politik med endnu større nettogevinster. Det spiller også en rolle, hvordan man vælger af veje forskellige slags fordele og ulemper. Det er et normalt krav til en regering, at den redegør for sit beslutningsgrundlag og vægtning – og det bliver ikke mindre, når der er tale om så vigtigt et problem som dette.