En årsag til, at en traditionel SIR-baseret model giver så stor usikkerhed, er, at små parameterafvigelser genererer store forskelle.

Fordelen ved den forventningsudvidede SIR-model er – udover at beskrive epidemien mere korrekt – at den desuden giver mere stabile resultater. Det hænger sammen med, at den effektive transmissionsrate (oftest kaldet kontakttallet – altså hvor mange andre en smittet person smitter) for farlige sygdomme vil bevæge sig omkring én (medmindre epidemien er ved at uddø eller eksplodere). Adfærden vil ændre sig for alle andre værdier end én, så en effektiv transmissionsrate på én er en ligevægtsbetingelse. Det vil med andre ord sige, at epidemien som udgangspunkt er endemisk: Smittetallet er nogenlunde konstant over tid, hvis der ikke stødes til modellen.

Det er dog vigtigt at understrege, at nok er Re = 1 en ligevægtsbetingelse, men smittetallet kan godt variere over tid, når noget ændrer sig. Kandidaterne er: 1) R0, altså transmissionsraten før adfærd. Hvis R0 vokser, så vil det være mere omkostningsfuldt at nedbringe Re til én. Borgerne vil derfor acceptere et højere smittetal i ligevægt. 2) Risikoen forbundet med at blive smittet. Hvis behandlingsmulighederne forbedres eller dødeligheden falder, vil man acceptere et større smitteomfang i ligevægt. 3) Forventninger om sygdommens udvikling. Ændringer i forventningerne vil påvirke adfærden. 4) Omkostningerne ved at undgå smitte. Som vi kunne konstatere, er der et tydeligt sæsonmønster i også COVID-19 coronaen. Nogle tider på året er det sværere (= dyrere) at undgå smitte. Derfor vil man acceptere en højere ligevægtssmitte, når man afbalancerer omkostningerne ved henholdsvis at undgå smitte og risikoen forbundet med smitte. 5) Politiske indgreb i form af bl.a. nedlukning. Som Jonas og Christian har påpeget, tyder det på, at den nedlukning, vi så i foråret, havde meget lille effekt sammenlignet med frivillig adfærd – og regeringen lukkede jo efterhånden også op igen med samme begrundelse. Men dermed ikke være sagt, at nedlukning ikke kan have en effekt, blot fordi tiltagene i gennemsnit har haft beskeden effekt hidtil. Nedlukningstiltag kan – som vi har været inde på før – være både substitutter og komplementer til adfærden. Hvis man kunne identificere komplementerne, ville nedlukning forstærke adfærden. Problemet er altså ikke, at nedlukning per definition ikke virker, men at regeringen og myndighederne ikke kender effekterne af de enkelte tiltag. Hvis man skyder med et gevær i blinde, vil man sandsynligvis ikke ramme sit bytte, men hvis man kan se og i øvrigt er man tilpas dygtig og heldig, kan det jo godt lade sig gøre.

Hvordan skal vi så forstå epidemiudviklingen med den mere smittefarlige engelske variant i lyset af den forventningsudvidede SIR-model?

Fremkomsten af den mere smittefarlige engelske COVID-19-variant er ensbetydende med, at R0 vokser – altså kontakttallet før adfærd. Det kræver en større indsats end før at bringe Re ned på én igen. Det taler for, at borgerne både øger deres forsigtighed og accepterer et større ligevægtssmittetryk end før. Men altså også at det Re igen falder til én (medmindre omkostningen ved at passe på bliver for store. I det tilfælde vil pandemien forværres, indtil begyndende flokimmunitet bringer den ned). Da R0 er højere for den engelske variant end den oprindelige variant, er det også ensbetydende med, at Re er højere for den engelske variant end for den oprindelige ved en given adfærd. Og da Re er mindre end én for den oprindelige variant (fordi folk passer mere på, efter den engelske variant har fået smitten til at stige), vil den oprindelige variant blive fortrængt af den engelske. Det er det mønster, der allerede ses i UK.

Interessant må fremkomsten af en vaccine formodes også at trække i retning af større forsigtighed på kort sigt. Det giver mere mening at passe på, fordi det er mere sandsynligt aldrig at blive smittet, hvis en vaccine venter lige om hjørnet. Men i takt med, at risikogrupperne bliver vaccineret, falder omkostningerne ved at få sygdommen, fordi man ikke længere risikerer at smitte ældre slægtninge og andre med høj dødelighed ved smitte. Det er altså tilsammen alt andet lige (endnu) et argument for at få vaccinationen gennemført så hurtigt som muligt.

Den engelske variant indebærer desværre også, at værdien af vaccinen falder, simpelt hen fordi flere kan nå at blive smittet, inden vi når flokimmunitet gennem vaccination. Det modvirker samtidig også den større forsigtighed på kort sigt, som vaccinen ellers fører med sig. Forklaringen er, at vaccine gør det mindre sandsynligt at blive smittet, hvis man altså passer på i mellemtiden. Men den øgede smitterisiko ved den engelske variant trækker i modsat retning. Det ændrer dog næppe ved, at den mere smittefarlige variant samlet øger forsigtigheden.  

Regeringen har valgt at stramme nedlukningen en tand mere efter fremkomsten af den britiske variant i Danmark. Som sagt er der ringe evidens for de tiltag, der gennemføres. Det er i grunden en skandale så lidt man ved om det så langt henne i epidemiforløbet. ”Dansen” med corona foregår med bind for øjnene. Men når det er sagt, så bør regeringen dog også roses for ikke at gå nær så langt med tvangsforanstaltninger som flere af nabolandenes regeringer. Realiteten er, at stramningen af forsamlingsreglerne og afstandskravene er mest symbolske, og at vægten helt klart er blevet lagt på opfordringer til en mere forsigtig adfærd. Som sagt tyder de empiriske studier på, at det er ad den vej, smittespredningen begrænses mest effektivt.

Det giver ikke sig selv, hvordan pandemien skal bekæmpes. Men dens grundlæggende mekanik gør det muligt at tænke lidt over, hvad der er af mulige strategier.

Det prøver jeg på her. Jeg skal med det samme understrege, at jeg ikke er virolog, men økonom.

Epidemier er imidlertid et eksempel på, at en ret enkel matematisk model kan give meget stærke analyseresultater. I mit sidste blogindlæg diskuterede jeg den nuværende corona-krise med udgangspunkt i to simple formler. De er udledt fra den såkaldte SIR-model for epidemier. Siden har både Sundhedsstyrelsen og flere økonomer offentliggjort analyseresultater (se her og her), der trækker på SIR-modellen.

Kort fortalt handler den om at opdele befolkningen i tre grupper og se på deres bevægelser over tid: Dem der er modtagelige over for smitte (Susceptible), dem der er inficerede (Infected), og dem der ikke er modtagelige (Removed) – enten fordi de er immune efter at have haft sygdommen, er døde af den, er vaccineret eller af anden grund ikke er modtagelig.

Det er et helt centralt resultat, at andelen, som vil få sygdommen, før den begynder at løje af, er:

(R-1)/R

hvor R er transmissionsraten fra hver inficeret til resten af befolkningen. I takt med, at flere og flere bliver immune efter at have været smittet, vil hver inficeret gøre færre og færre andre syge, indtil sygdommen mister fodfæste. Den andel kaldes også flokimmunitet, fordi med tilpas mange immune, kan en befolkning ikke længere angribes af en epidemi.

Der er med andre ord tre faser af en epidemi, der får lov at udvikle sig uden modforanstaltninger. I begyndelsen er der få inficerede, som til gengæld giver smitten meget effektivt videre, fordi der er så få immune. Sygdommen vokser kraftigt. Derfor er der mange inficerede i anden fase, hvor antallet af immune imidlertid også begynder at vokse. I tredje fase er immuniteten så udbredt, at selv om de mange inficerede giver smitte videre, så bliver færre nye inficerede. Til sidst stopper sygdommen. Du har sandsynligvis set grafer, der illustrerer forløbet masser af gange de seneste uger.

SIR-modellens styrke er dens enkelhed. Det betyder også, at den har sine begrænsninger. Den kan udbygges med f.eks. elementer af tilfældighed, med sæsonvariation i transmissionsraten (som ved normal influenza, der dør ud, når det bliver sommer) og med stadige mutationer af vira, som giver sygdommen mulighed for at vende tilbage.

Med begrænsningerne in mente er den alligevel meget stærk som udgangspunkt for at overveje, hvad der kan være af strategier for at håndtere en epidemi. Da sygdommens udbredelse på kort og lang sigt i meget høj grad afhænger af transmissionsraten, R, så handler de også i høj grad om netop at begrænse R.

Begrænser man R midlertidigt, kan man begrænse udbredelsen midlertidigt. Og times det rigtigt, kan toppen tages af epidemien, som min kollega, Jonas Herby, tidligere har beskrevet. Det kan vinde tid. Begrænser man R længe nok, kan færre ende med at få sygdommen end ved det oprindelige R.

Her er et skitseagtigt bud på de forskellige veje at gå. Det er vel at mærke ikke andet end mine hurtige overvejelser:

1. Gøre ingenting. Epidemien vil rase, indtil der opnås flokimmunitet. Fordelene er, at det vil gå relativt hurtigt, og at omkostningen for økonomien vil være begrænset. Ulemperne er, at dødeligheden kan blive høj, navnlig hvis sundhedsvæsenets behandlingskapacitet bliver overvældet (om end dødeligheden også skønnes høj for udsatte grupper, der kommer i intensiv behandling).
2. Begræns transmissionsraten markant ved at reducere befolkningens sociale kontakter. Håb på, at sygdommen dør ud, når sæsonvariationen svækker den. Noget tyder på, at det er, hvad danske regering håber på. Fordele: Dødelighed bliver mindre, både fordi sundhedsvæsenets kapacitet bliver beskyttet og endda kan være rigelig, og fordi færre bliver inficeret. Ulemperne er for det første, at selv kortvarig kraftig begrænsning af sociale kontakter vil medføre voldsomme fald i den økonomiske aktivitet. Hertil kommer, at der ingen sikkerhed er for, at sygdommen dør ud, og at selv hvis den dør ud lokalt, så vil det kræve meget hårde tiltag som langvarig grænselukning at forhindre den i at komme tilbage. Hvis sygdommen kommer tilbage (eller viser sig ikke at have sæsonvariation), vil et lavt antal inficerede i første bølge medføre et større pres på sundhedsvæsenet i næste runde. Endelig vil den folkelige opbakning til strategien let erodere, hvis sygdommen vender tilbage, og bekæmpelsespolitikken kan svinge fra én yderlighed til en anden.
3. Begræns transmissionsraten gennem begrænsning af sociale kontakter, indtil sygdommen dør ud globalt eller der bliver udviklet en vaccine. Formålet er som i strategi 2 at begrænse smitten mere end blot til at beskytte sundhedsvæsenets kapacitet. Hvis forhåbningen i strategi 2 ovenfor om at udrydde sygdommen efter første bølge ikke materialiserer sig, så leder denne strategi logisk set over i strategi 3 – medmindre man altså skifter strategi. Fordele: Dødeligheden som følge af sygdommen begrænses betydeligt, fordi færre bliver smittet undervejs . Ulemper: Der er meget store økonomiske og menneskelige omkostninger, og nedlukningen vil blive langvarig. Opbakningen til strategien i befolkningen vil komme under pres både samlet set og i form af civil ulydighed.
4. Begræns transmissionsraten nok til ikke at overbelaste sundhedsvæsenets kapacitet og opbyg kapaciteten så hurtigt som muligt (kapacitet skal forstås i bredeste forstand, herunder også udvikling af nye behandlingsformer). Fordele: Ingen overdødelighed som følge af begrænset kapacitet. En hurtig udbygning vil begrænse varigheden af nedlukningen. Ulemper: Trods fordele i form af mindre dødelighed og varighed, kan dødeligheden og længden af den nødvendige nedlukning stadig blive stor. Med øget varighed følger store økonomiske omkostninger. Opbygning af kapacitet medfører omkostninger i form af knappere behandlingskapacitet for andre lidelser.
5. Begræns transmissionsraten ved at afskære inficerede fra at smitte. Frem for at begrænse de generelle sociale kontakter søges det her at afskære allerede inficerede og personer mistænkt for infektion fra at videregive smitte. Der screenes for infektion bl.a. gennem intensive test, og potentielt smittede afskæres fra omverdenen. Fordele: Nedlukningen bliver langt mindre omfangsrig og de økonomiske omkostninger overskuelige. Ulemper: Der er risiko for, at afsondringen ikke er effektiv, og at smitten slipper løs i dele af befolkningen, hvor transmissionsraten ikke er begrænset.
6. Begræns transmissionsraten målrettet i forhold til udsatte grupper ved at isolere dem. Fordele: Lavere dødelighed. Ingen generel nedlukning og overskuelige økonomiske omkostninger. Ulemper: Risiko for, at isolationen ikke er effektiv. Svært at afskære udsatte grupper for familiemedlemmer som børn etc. (som dog evt. kan omfattes af isolation). Svært at udvide til større grupper end allermest udsatte.
7. Øg immuniteten ved målrettet smitte af/ingen begrænsning af social kontakt for mindst udsatte grupper. Fordele: Fremskynder opnåelse af flokimmunitet, sænker dødeligheden og overskuelige økonomiske omkostninger. Ulemper: Svært at begrænse smittekæder fra mindst udsatte til mere udsatte og risiko for hastig smittespredning til udsatte grupper. Smitteudsættelse er et overgreb, som næppe vil blive accepteret, hvis det er tvunget.
8. Subsidier til at fremskylde udvikling af vaccine og andre effektive behandlingsmetoder (f.eks. test). Fordele: Overskuelige økonomiske omkostninger, mindre dødelighed og mulighed for både at opnå storskalafordele hurtigt og afsøge mange alternative teknologier ved at rekruttere store dele af erhvervslivet mv. Ulemper: Usikkert, hvor meget vaccine vil blive fremskyndet. Navnlig på kortere sigt vil effekten være begrænset.

Der er muligvis flere veje at gå.  Og samtidig kan de forskellige strategier selvsagt i en række tilfælde kombineres. Endelig kan de hver især skaleres. Der er f.eks. mange grader af at begrænse sociale kontakter – fra at isolere alle i deres hjem til f.eks. at begrænse tætheden i den kollektive trafik. Her gælder det i øvrigt, at mere ikke nødvendigvis er bedre, selv når man ser bort fra omkostningerne. F.eks. kan det give bagslag at sænke R så meget, at vi havner langt under sundhedsvæsenets kapacitetsgrænse, hvis det blot betyder, at epidemien udskydes – og at der derfor senere bliver tilsvarende ekstra pres på kapaciteten.

Der er strategier, vi stort set ikke har haft på bordet. Det til trods for, at der er gode argumenter for også at overveje strategier som 5 og 6 (se f.eks. Paul Romer her og Martin Ågerup her). Og kunne den private sektor ikke bidrage med meget mere, f.eks. ved en kraftig subsidiering af at øge testkapaciteten? En stor del af nedlukningen kunne undværes, hvis det ikke var sværere at teste sig selv for corona end for graviditet.

Hvordan afgør man det bedste strategivalg?

Grundlæggende handler det om først at forsøge at opgøre fordelene og ulemperne ved de forskellige strategier. Dernæst om at skalere de valgte redskaber, så der skrues op for dem, indtil det punkt, hvor de forventede omkostninger overstiger de forventede fordele. Det er selvsagt ikke enkelt at regne ud. Dels på grund af usikkerhed, dels fordi der ikke er entydig pris at sætte på hver fordel og ulempe. Men usikkerheden er en del af beslutningsproblemet. Og hvor vi f.eks. ikke nødvendigvis er enige om, hvordan risici og menneskeliv skal prissættes, så bør resten opgøres, så det er muligt at isolere effekten af de størrelser, vi ikke er enige om.

Hvad er det nyt ved denne måde at stille beslutningsproblemet op på? Ingenting! Det er grundlæggende sådan, informerede valg altid bør foretages. Og sådan talrige politiske beslutninger træffes: Der udarbejdes et fagligt beslutningsgrundlag af sagkyndige, og politikerne træffer de endelige valg.

Det særlige ved den nuværende situation er for det første, at vi står over for et problem, hvor fordele og ulemper kan blive af enorme størrelsesordener. Det handler om tusindvis af menneskeliv og op til trecifrede milliardbeløb for ikke at tale om indskrænkning af grundlæggende frihedsrettigheder. Der er allerede truffet mere vidtrækkende beslutninger end nogen dansk regering har gjort i lang tid. For det andet – og her er vi inde på noget, der er virkelig kritisabelt — har regeringen hidtil ikke præsenteret noget, der ligner et beslutningsgrundlag. Vi ved ikke, hvad de meget vidtrækkende beslutninger er baseret på, og i hvilken grad der overhovedet er en plan. Sundhedsstyrelsen har offentliggjort nogle strategiplaner, som nok indeholder nyttige informationer, men langt fra udgør et beslutningsgrundlag. Der er f.eks. intet om økonomiske omkostninger, eller hvordan man sparer flest menneskeliv per krone. Der er end ikke regnet på forskellige scenarier, så man kan se det forventede antal døde/smittede, hvis vi havde valgt samme tilgang som f.eks. Sverige.

Jeg undrer mig over, at vi ikke har set et sådant beslutningsgrundlag – og over, i hvor lille grad medierne har efterspurgt det. Alene spørgsmålet om den forventede varighed og de økonomiske omkostninger har der været forbløffende lille fokus på. At regeringen i de første dage måtte prioritere hurtig handling, er nok forståeligt og acceptabelt, men at vi her over to uger senere ikke har et grundlag at forholde os til, er ikke acceptabelt.

Et lille PS: Hvis du undrer dig over, at strategi 1 måske ikke er nok, så er forklaringen her: Transmissionsraten R skønnes til 2,5, medmindre der anvendes et eller flere redskaber til at sænke den på kort eller lang sigt. Ifølge den simple formel ovenfor skal (R-1)/R smittes, før sygdommen mister fodfæste. Med R=2,5 vil det sige, at 60 pct. af befolkningen skal være immune, før den mister fodfæste. Der er en betydelig risiko for, at sygdommen vender tilbage, hvis vi kun reducerer R midlertidigt, eller medmindre vi finder en vaccine. Derfor kan det have lange udsigter, før epidemien er endelig bekæmpet, uanset om den måske vil bremses midlertidigt efter første bølge.

Sundhedsstyrelsen har foreløbig fokuseret på første bølge, hvor den regner med, at 10 pct. af befolkningen bliver inficeret og derefter immune, hvis man overlever. Vi er dog endnu meget langt fra bare de 10 pct. Risikoen er, at vi lægger låget for hårdt og forkert på, indtil omstændighederne tvinger os til at revidere strategien. Og at vi kommer til at bruge unødigt mange ressourcer i begyndelsen.

Men dybest set ved vi det ikke, fordi vi ikke kender beslutningsgrundlaget.