Her er – som lovet – et link til min kronik i Børsen om Arrow og “(u)mulighedsteoremet”. Det er et af de vigtigste resultater om demokratiske valgsystemer overhovedet. Det viser, at det grundlæggende ikke kan lade sig gøre at tolke demokratiske afstemninger som udtryk for “folkets vilje”.

Men det er også generelt vanskeligt tilgængeligt. Det skyldes, at social choice-teorien (som Arrow grundlægger med teoremet) benytter sig af matematisk set-teori, som kan virke fremmedartet på de fleste. Og selv om man forstår matematikken, kan resultaterne være svære at fortolke. Den absolut bedste ikke-tekniske fremstilling er mig bekendt stadig William Rikers “Liberalism against populism”.

Arrows teorem går som sagt ud på, at intet valgsystem kan opfylde fem krav på én gang:

1) at der ikke må være en diktator, 2) at vælgerne må mene, hvad de vil, 3) at systemet skal være konsekvent i sin prioritering, 4) at prioriteringen mellem to forslag X og Y skal være uafhængig af, hvordan man ser på Z og andre irrelevante alternativer, og 5) at hvis alle foretrækker X frem for Y, må valgsystemet ikke vælge Y.

Kravene er oplagte at stille til et rationelt individ – bortset fra krav 1) om at der ikke må være en diktator, naturligvis. Når vi vælger individuelt, er vi jo netop “diktator”. Men hvis der er flere vælgere, er kravet om fravær af en diktator oplagt. Og så følger det af teoremet, at mindst ét af de andre krav ikke kan være opfyldt. Der vil typisk ikke være “kollektiv rationalitet” på samme måde som der vil være individuel rationalitet ved individuelle valg.

I kronikken giver jeg et par eksempler på fravær af rationalitet, som vi næppe ville forvente at se hos enkeltpersoner, men sagtens kan finde ved kollektive beslutninger:

Tag f.eks. en mand på en restaurant, som mellem fisk, bøf og kylling vælger bøf. Da tjeneren meddeler, at køkkenet for resten også er løbet tør for kylling, vil manden helst have fisk (og lever dermed ikke op til krav 4). Ham ville vi ikke se som helt velforvaret.

Eller hvad med kvinden på samme restaurant, som ikke får noget at drikke, fordi hun bedre kan lide rødvin end hvidvin, og bedre rosé end rødvin, men foretrækker hvidvin frem for rosé (og krænker krav 3).

Der var ikke plads til at folde eksemplerne ud i kronikken, hvor de derfor blot er postulater. Men lad mig prøve at vise, hvordan det kan lade sig gøre.

Det første eksempel handler om uafhængighed af irrelevante alternativer. Antag f.eks. at vi har syv vælgere med disse præferencer:

4 vælgere foretrækker fisk frem for bøf og bøf frem for kylling (kan skrives: F,B,K)

3 vælgere foretrækker bøf frem for kylling og kylling frem for fisk (B,K,F).

Hvis de skal stemme om, hvad de skal have til aften, kan de f.eks. bruge det såkaldte Borda-system. Her giver man point til hvert alternativ efter, hvor meget man foretrækker dem. De første fire vælgere giver hver 3 point til fisk, 2 point til bøf og 1 til kylling. Vinder er den kandidat, som får flest point sammenlagt. I eksemplet her får bøf 17 point, fisk 15 og kylling 10. Ergo vinder bøf.

Men fjern nu kyllingen fra menukortet. Nu vil de første fire vælgere give 2 point til fisk og 1 point til bøf. De sidste tre vælgere vil omvendt give 2 point til bøf og 1 point til fisk. Nu får fisken 11 point samlet, mens bøffen får 10 point sammenlagt. Ergo vinder fisk.

Bemærk at vælgerne hver især er helt rationelle. Men kollektivt havner de i den ikke-rationelle situation, at det indbyrdes forhold mellem bøf og fisk er bestemt af et tredje alternativ, som i øvrigt ikke har nogen chance for at vinde selv.

Eksemplet med kvinden, som ikke kan frembringe en konsekvent (såkaldt transitiv) orden af alternativer kan for det kollektive tilfælde illustreres sådan: Der er kun tre vælgere med hver sin konsekvente ordning af de tre slags vin:

vælger A: Rødvin, Hvidvin, Rosévin

vælger B: Rosévin, Rødvin, Hvidvin

vælger C: Hvidvin, Rosévin, Rødvin

Hvis vi foretager parvise flertalsafstemninger mellem de tre kandidater, får vi først, at rødvin slår hvidvin (vælger A og B stemmer på rødvin). Dernæst får vi, at roséen slår rødvinen (vælger B og vælger C stemmer for rosé). Endelig får vi, at hvid slår rosé (som A og C foretrækker).

Dette eksempel har været kendt meget længe som Condorset-paradokset (efter den franske matematiker Condorset). Som det ses, er der ingen klar (Condorset) vinder for kollektivet af vælgere, uanset at hver vælger klart kan prioritere mellem alternativerne. Det vil derfor være afstemningsrækkefølgen, som kommer til at afgøre udfaldet. Hvis vi f.eks. begynder med rød og hvid først, og lader vinderen (rød) møde rosé, vinder rosé. Men et hvert af alternativerne kan ende som vinder, afhængigt af afstemningsrække.

Borda- og Condorset-eksemplerne er desuden gode til at illustrere Gibbard-Sattertwaite-teoremet, som siger, at ethvert valgsystem, som ikke diktatorisk, kan manipuleres. Det er let at se, at den, der bestemmer afstemningsrækkefølgen i Condorseteksempler, også bestemmer udfaldet. På samme måde kan den, der bestemmer antallet af kandidater i Bordaeksemplet, bestemme udfaldet. Endvidere kan man let overbevise sig om fordelene ved en anden form for manipulation: Strategisk stemmeafgivning. I Bordaeksemplet kan de fire vælgere, som foretrækker fisk, vælge at prioritere bøf under kylling, selv om de reelt foretrækker bøffen frem for kyllingen. Den vil imidlertid føre til valget af fisk, som er deres mest foretrukne alternativ.

Men det tyder så på, at hverken Cordorsetmetoden eller Borda-systemet er gode valgsystemer, og at vi må finde et helt tredje? Styrken ved både Arrows og Gibbard-Sattertwaites resultater er, at de kan fastslå, at denne søgen er omsonst. Uanset hvilket valgsystem, man kan tænke sig, kan det ikke opfylde alle fem krav samtidig eller være umanipulerbart.

Som nævnt i kronikken har der føjet sig en lang række andre, ikke mindre dystre resultater til i social choice-teorien.

Og konklusionen? Ja, den er at “folkeviljen” ikke eksisterer i nogen meningsfuld forstand.  Politik kan nok sikre, at der bliver truffet beslutninger, men at “folket har talt” kan man ikke sige. Som Riker påpegede, er den vigtigste egenskab, at det kan afsætte en uacceptabel leder til overkommelige omkostninger. Det er en mekanisme, som ikke udmønter, men kan være med til at beskytte individers frie udfoldelse – i øvrigt sammen med checks, balances, grænser for politik og frihedsrettigheder.